Giai đoạn tính gộp có ý nghĩa gì?
Giả sử hệ số chiết khấu cho khoảng thời gian 3 năm là 0,9. Lợi suất đến kỳ đáo hạn (yield-to-maturity) được tính gộp hang năm là:
r = (1/0.90)1/3 – 1 = 3.57%
Ta tiếp tục giả sử việc tính gộp được thực hiện bốn lần mỗi năm (hang quý). Lợi suất tới hạn hàng quý sẽ là baon nhiêu?
Để có câu trả lời ta sẽ phải tính giá trị tương lai của €1 sau 4 năm:
FV(4) = (1+r/4)4*3
Trong công thức này, r là lãi suất danh nghĩa bình quân năm. Lãi suất được thanh toán hàng quý sẽ là r/4. Khoản lãi này sẽ được tái đầu tư 4 lần mỗi năm trong vòng 3 năm.
Lưu ý rằng công thức này gần như giống hệt với công thức trước đó. Việc chia lãi suất cho 4 chỉ là cách tính lãi bình quân quý. Sauk hi đã thực hiện chia, công việc còn lại chỉ đơn giản là tính gộp khoản đầu tư ban đầu với nhiều giai đoạn hơn.
Chúng ta có được một công thức tổng quát hơn mô tả mối liên hệ giữa hệ số chiết khấu và lãi suất tính gộp theo quý:
DF4 = 1/(1+r/4)4*3
Với hệ số chiết khấu đã biết, ta có thể đi từ biểu thức này để tính ra được lợi suất tới kỳ đáo hạn bình quân quý tính gộp:
r = {(1/0.90)1/12 – 1} * 4 = 3.53%
Lưu ý lợi suất tới kỳ đáo hạn tính gộp bình quân quý sẽ thấp hơn mức tính gộp bình quân năm. Điều này là hiển nhiên và theo đúng kỳ vọng. Tuy nhiên cần nhớ rằng ta xuất phát với hệ số chiết khấu đã biết. Do đó, giá trị tương lai của €1 sau 3 năm cũng được cố định. Lợi suất tới kỳ đáo hạn là tỉ suất trung bình của lợi nhuận thu về cho đến khi đáo hạn. Nếu tần suất tính gộp nhiều hơn 1 lần/năm, chúng ta sẽ thu lãi trên lãi sớm hơn. Khi đó, lãi bình quân yêu cầu để đạt được khoản lợi kỳ vọng sẽ nhỏ hơn.
Công thức tổng quát để tính hệ số chiết khấu với lãi suất danh nghĩa bình quân năm r được tính gộp n lần mỗi năm là:
DFt = 1/(1+r/n)n * t
Lợi suất thực bình quân năm được định nghĩa là lãi suất mà giá trị tính gộp hàng năm của nó cho phép ta tính được hệ số chiết khấu bằng với hệ sô tính được từ lãi suất danh nghĩa bình quân năm r được tính gộp n lần trong năm. Công thức tính lợi suất thực R là:
R = (1+r/n)n
Ta có thể kiểm tra với lãi suất danh nghĩa bình quân năm tính gộp hàng quý là 3,53%, lãi suất thực bình quân năm là 3,57%
Khi số lần tính gộp trong năm tăng lên, lãi suất thực hàng năm sẽ tăng dần nhưng tiến tới một giới hạn. Giới hạn này là er với r là lãi suất danh nghĩa bình quân năm được tính gộp liên tục (e có giá trị 2.71828 làm tròn đến 5 chữ số thập phân).
Trong ví dụ phân tích ở trên, lợi suất đến kỳ đáo hạn của trái phiếu zero-coupon kỳ hạn 3 năm tính gộp liên tục có thể tính qua công thức:
0.90 = 1/e3 * r = e-3r
Trong đó:
r = ln(1/0.90)/3 = 3.51%
Tóm lại, với một hệ số chiết khấu cho trước (d(3) = 0.90 trong ví dụ đang xét), việc tính lợi suất đến kỳ đáo hạn có thể cho các kết quả khác nhau tùy thuộc tần suất tính gộp:
3.57% nếu tính gộp hàng năm (n = 1)
3.54% nếu tính gộp hai lần/năm (n = 2)
3.53% nếu tính gộp hàng quý (n = 4)
3.52% nếu tính gộp hàng tháng (n = 12)
3.51% nếu tính gộp liên tục (n = ∞)
Tất nhiên hệ số chiết khẫu cũng sẽ thay đổi với mỗi mức lãi suất danh nghĩa binh quần năm tùy thuộc vào tần suất tính gộp. Chẳng hạn, giả sử lãi suất danh nghĩa bình quân là 5%/năm và chúng ta muốn hệ số chiêt khấu 10 năm d(10). Các kết quả có thể là:
DF10 = 0.6139 nếu tính gộp hàng năm (n = 1)
DF10 = 0.6103 nếu tính gộp mỗi nửa năm (n = 2)
DF10 = 0.6084 nếu tính gộp hàng quý (n = 4)
DF10 = 0.6072 nếu tính gộp hàng tháng (n = 12)
DF10 = 0.6065 nếu tính gộp liên tục (n = ∞)
Giá trị hiện tại với một hệ số chiết khấu
Nhiều công thức cho phép tính giá trị hiện tại sử dụng một hệ số chiết khấu cho mọi khoảng kỳ hạn. Việc đơn giản hóa này cho phép đưa đến một công thức thức tính toán đơn giản và “đẹp”. Tuy nhiên để có được sự đơn giản và nhỏ gọn của công thức, người sử dụng sẽ có thể phải chấp nhận chi phí phát sinh từ sự khác biệt giữa giá trị hiện tại với giá thị trường quan sát được.
Công thức tổng quát khi sử dụng một hệ số chiết khấu là:
PV = C1 * DF1 + C2 * DF2 + … + Ct * DFt + … + CT * DFT
Với DFt = 1/(1+r) t